\input stern.cmm
\titlea{1}{Einf\"uhrung in die astronomische Literatur und
Nomenklatur}
\name{W. D. Heintz}{Swarthmore}
Gegenstand der Astronomie sind alle Ph\"anomene au\ss{}erhalb der Erde.
Ihr Reich ist  der gesamte Raum, \"uber gr\"o\ss{}te Entfernungen
hinweg, und auch die gesamte Zeitskala bis zur\"uck zur Entstehung des
Universums, wie man nach den Fortschritten in der Altersbestimmung der
Himmelsk\"orper \dots . \hfill\break
Und nun einige Versuche mit Sonder\"uberschriften:
\lemma{1.1}{Let $z\in{\rm ex}_t(F)$ and $\varepsilon>0$. Then there
exists a simplex \dots. } \theorem{2.3}{  The Strong Unconstrained  Convex Function \dots.}
 \corollary{5.6}{ For any fixed integer $n \ge1,$ there exists \dots .}
\definition{5.9}{A convex set K is called circumscribed if \dots .}
\example{6.1}{Let $K\subseteq R^n$ be a polytope defined
as the convex hull of a given finite set. \dots }
\proof {Since ${\rm ex}_t(F)\subseteq F$, it is trivial that
${\rm hull}_t\bigl ({\rm ex}_t(F)\bigr )\subseteq {\rm
hull}_t(F)$\qed}
  \remark{5.10}{All the strict inequalities appearing in the strong versions
\dots .}
Weiter im Text. Trotzdem ist das Feld f\"ur den Sternfreund am Fernrohr
noch weit gesteckt. \dots
\titlec{1.1.1}{Thermische Strahlung}
Die Eigenstrahlung eines idealen, schwarzen K\"orpers wird im
Radiobereich durch die Rayleigh-Jeans-N\"aherung beschrieben.
\titled{1.1.1.1}{M\"ogel-Dellinger-Effekt} Er bewirkt
eine starke Zunahme des atmos\-ph\"a\-rischen Rauschens im kHz-Bereich, bei
Kurzwellen setzen die Echos aus der Ionosph\"are aus, die
\titlec {1.1.2}{Troposhp\"are}
W\"ahrend am langwelligen Ende des ``Radiofenster'' der Atmosph\"are
durch die Ionosph\"are begrenzt ist, ist es am anderen Ende im
mm-Bereich \dots
\begfig 0.8 cm
\figure{1}{This is a figure legend}
\endfig
Die Legende erscheint nicht unbedingt da, wo sie codiert worden ist,
sie erscheint dort, wo es f\"ur den Umbruch sinnvoll ist.
\begfig 3 cm
\figure{2}{This is the second figure legend}
\endfig
August 1959 -- December 1976 and at the National Solar Observatory
(Kitt Peak) during December 1976 -- July 1984. As the sun rotates, the
longitude of the central meridian decreases.
\begfig 1.5 cm
\figure{3}{This is a figure legend extending over several lines,
therefore no centering is performed. Full page width is used}
\endfig
 From each daily magnetogram,
the magnetic fields around the central meridian have been used to cover
all latitudes within this particular longitude band. During the course
of one solar rotation, all longitudes get covered, resulting in a synoptic
map representing the observed longitudinal (line-of-sight) magnetic field
as a function of latitude and longitude.
\smallskip
\item{a.} Die Winkelaufl\"osung wird durch das Verh\"altnis von
Instrumentendurchmes\-ser {\it D} [m] und Wellenl\"ange $\delta$ [m]
bestimmt. Im Radiobereich nimment man die Halbwertsbreite der Antennen\
dots
\item{b.} Die Energie pro Photon ist entsprechend der Quantentheorie um
die Gr\"o\ss{}en\-ordnungen schw\"acher, um die die Radiowellen l\"anger
als die
des Lichts sind. Entspechend ist die Einheit des Strahlungsflusses,
nach dem
\itemitem{a.}Begin with a nesting
\itemitem{b.}Another nesting
\item{c.} Aus dem Verh\"altnis von der Gr\"o\ss{}e eines Streupartikels
zur Wellenl\"ange kann man absch\"atzen, ob und wie stark eine Streuung
eintritt. Die Erfahrung zeigt, da\ss{} die interstellaren Staubteilchen
\dots
\smallskip
Now we start with
$$\varphi =-2\pi(\nu_C t-n),\eqno (1.1)$$
where $n$ is an integer ensuring that $\varphi$ stays in the interval
$-\pi<\varphi \le \pi$, and where the zero point of the time scale $t$ has been chosen
such that $\varphi =0$ when $t=0$.
 
 
\begpet Hier folgt nun Text, der im Kleindruck mit dem richtigen Kegel
erscheinen soll:  Ist $i_0$ der senkrecht auf ein Grauglas auffalende 
und $i$ der hindurchgelassene Lichtstrom, so ist der {\it 
Durchla\ss{}grad} dieses Glases $\tau = i/i_0$. 
\endpet
 
The orthonormality condition
$$\int Y_{\ell^{\prime}}^{m^{\prime}}(\vartheta,\varphi)Y_{\ell}^{m\ast}
({mm^{\prime}} \eqno(1.2)$$
is used to solve for the coefficients:
\frame{$$c_{\ell}^m(t)=\int B(\vartheta,\varphi,t) Y_{\ell}^{m\ast}
(\vartheta,\varphi) \rm d\Omega. \eqno(1.3)$$}
\frame{\medskip$$c_{\ell}^m(t)=\int B(\vartheta,\varphi,t)
Y_{\ell}^{m\ast}
(\vartheta,\varphi) \rm d\Omega.$$}
Asterisk in upper case denotes complex conjugation.
 
Using the explicit expressions for the spherical harmonics and the definition
of the associated Legendre functions $P_{\ell}^m(x)$ in Appendix A, we
can rewrite (1.4) as
$$c_{\ell}^m(t)=f_{\ell}^m\int\limits_{-1}^1{\rm d}x\int\limits_{-\pi}^{\pi}
{\rm d}\varphi \, \, \,
B(x,\varphi,t)e^{-im\varphi}P_{\ell}^m(x),\eqno(1.4)$$
where $x=\cos\vartheta$, and the factor of proportionality is
$$f_{\ell}^m=(-1)^m\, \, \sqrt{{2\ell +1\over 4\pi}{(\ell -m)\, !\over (\ell +m)\,
 !}}\eqno(1.5)$$
for $m\ge 0$. We have two integrations to perform in something, one Fourier transform
over the longitude window, which is done numerically using a fast
Fourier transform, and one Legendre transform, for which we apply an
improved (in relation to Stenflo and Vogel 1986) numerical method appropriate
when the spatial resolution of the data is limited, as described in Appendix B.
\titleb {1.3}{Results for the zonal modes}
The power $\gamma^{6{^4}^5}$ spectra $Pc_{\ell}^0(\nu)$ for the zonal modes ($m=0$), computed
with our apodized data set using something,
are displayed in Fig. 1. As the modes of odd and even parity behave\fonote{The
spherical harmonics are given by
$$Y_{\ell}^m(\vartheta ,\varphi)=(-1)^m\, \, \sqrt{{2\ell +1\over 4\pi}
{(\ell -m)\, !\over (\ell +m)\, !}}\, \, \,
e^{im\varphi}P_{\ell}^m(\cos\vartheta)\eqno({\rm A}1)$$
for $m\ge 0$. When $m$ is negative, a common definition of the spherical
harmonics is}
so differently, they are plotted separately. Odd parity (for odd values of
$\ell\, $) corresponds to modes that are anti-symmetric with respect to
reflections in the equatorial plane, even parity to symmetric modes.
\titlec {1.3}{Interpolation}
In practice the continuous opacity distribution function is replaced by
a discrete set of pairs ($w,x$) covering the full range of the
absorption
\frame{Using (9) and (1) to eliminate the longitude, the expression (5) for the
harmonic coefficients becomes
$$c_{\ell}^m(t)=2\pi\nu_C\,\int\limits_{-\infty}^{\infty} D_{\ell}^m
(t^{\prime})w_C(t^{\prime}-t)e^{i2\pi m\nu_Ct^{\prime}}{\rm d}t^{\prime},
\eqno(1.6)$$
where we have introduced the notation $w_C$ for the ``Carrington window'',
with}
$$w_C(t)=1\, \, \, \, {\rm for} \,\, -{1\over 2}P_C\le t\le{1\over 2}P_C,
\eqno(1.7)$$ zero otherwise.
coeffifcient, and intermediate values are obtained by interpolation on
this set.
\begtab 2.5 cm
\tabcap{4}{Diese Tabelle wird nicht mit \TeX{}
codiert, sie wird eingeklebt}
\endtab
\begref
\ref 1. Traving, G.: Einiges \"uber optisches Rechnen I u. II. Sterne und
Weltraum {\it 24}, 661 (1985) u. {\it 25}, 274 (1984)
\ref 2. Berek, M.: Grundlagen der praktischen Optik. Berlin: de Gruyter
1970
\ref 3. Fl\"ugge, J.: Leitfaden der geometrischen Optik und des
Optikrechnens. G\"ottingen: Vandenhoeck \& Ruprecht 1956
\ref 4. K\"ohler, H.: Die Entwicklung der aplanatischen Spiegelsystemen.
Astron. Nachrichten {\it 278}, 1 (1949)
\ref 5. Wiedemann, E.: \"Uber die Interpretation der Korrektionsdaten von
Astro-Amateur-Optiken. Sterne und Weltraum {\it 18}, 268 (1979)
\endref
\bye