\input tech-ghb.cmm
\overfullrule=0pt
\titlea{Finite-Streifen-Methode f\"ur Mindlinsche Platten}
\titleb{Einf\"uhrung }
Viele Konstruktionen besitzen konstante geometrische Eigenschaften
entlang einer bestimmten Richtung. Derartige prismatische Strukturen
sind bei Platten weit verbreitet, bei denen der Querschnitt der Platte
in L\"angsrich\-tung oft konstant bleibt. Bei axialsymmetrischen
Schalen bleibt der Querschnitt der Schale in Umfangsrichtung ebenfalls
konstant (Abb.$\,$ 1.1). Falls die Material\-eigenschaften der
Struktur ebenfalls in der gleichen Richtung konstant sind, kann die
Berechnung durch eine Kombination der Methode der finiten Elemente und
Fourier-Reihenentwicklung vereinfacht werden, um das transversale und
longitudinale Verhalten zu modellieren.
\begcap 4 cm
\caption{Abb.$\,$1.1}{Einfach gest\"utzter Balken mit konstantem
Querschnitt unter beliebiger \"au\ss{}erer Belastung $q(y)$}
\endcap
Die Kombination von finiten Elementen und Fourier-Reihen ist nicht neu
und ist seit einigen Jahren in der Berechnung von unsymmetrisch
belasteten axialsymmetrischen Schalen und K\"orpern in Gebrauch
(Grafton und Strone $\lbrack1.1\rbrack$, Ahmad und
andere
$\lbrack1.2\rbrack$ und  Wilson $\lbrack1.3\rbrack$).
\par
Die Erweiterung der Methode auf Platten und Schalen wurde zuerst von
Cheung $\lbrack1.4\rbrack$ entwickelt und als Finite-Streifen-Methode
bezeichnet. Seitdem wurde die Methode weiter verfeinert, und einige der
wichtigsten Beitr\"age sind aufgef\"uhrt unter
$\lbrack1.5$ -- $1.18\rbrack$.
\par\nobreak
In diesem Kapitel wird die Grundlage der Finite-Streifen-Methode f\"ur
Mindlinsche Platten dargestellt. Damit werden viele prismatische
Strukturen erfa\ss t.
\par
Zuerst werden rechteckige Platten betrachtet als Einf\"uhrung zu
komple\-xeren Problemen. Grundlegende Einzelheiten der
Finite-Streifen-Methode werden dargestellt. Der zweite Teil des Kapitels
behandelt Platten und Schalen. Es wird gezeigt, da\ss \ die
Finite-Streifen-Methode f\"ur gerade Platten mit Hohlquerschnitt und f\"ur
axialsymmetrische Schalen einfach als Spezialfall der allgemeinen
Formulierung f\"ur Platten mit gekr\"ummten Deckfl\"achen abgeleitet
werden kann, der zuerst behandelt wird. Der letzte Teil dieses
Kapitels behandelt die rechentechnische Erfassung der
Finite-Streifen-Methode auf dem Computer und alle Einzelheiten eines
Finite-Streifen-Programms f\"ur die Berechnung von rechteckigen und
gekr\"ummten Platten werden dargestellt.
\par
Bevor auf die Grundlage der Finite-Streifen-Methode eingegangen wird,
ist es von Interesse, den Leser in den grundlegenden Gebrauch der
Fourier-Reihen f\"ur die Strukturanalyse einzuf\"uhren. Dies wird im
n\"achsten Abschnitt f\"ur den einfachen Fall eines Balkens getan.

\titleb{Berechnung eines einfach gest\"utzten Balkens mit
Fourier-Reihen }
Man betrachte den Balken wie in Abb.$\,$ 1.2 dargestellt, der mit einer
beliebigen Last $q(y)$ belastet ist. Die gesamte potentielle Energie des
Balkens infolge Biegung ergibt sich zu
$$\pi(w) = {EI \over 2} \intl_0^b \left({\hbox{d}\,^2w \over
\hbox{d}y^2}\right)^2\hbox{d}y
- \intl_0^b qw \, \hbox{d}y\; .\eqno(1.1)$$
In (1.1) bedeuten $E$ den $E$-Modul und $I$ das Tr\"agheitsmoment des
Balkenquerschnitts. Die Durchbiegung des Balkens an einer beliebigen
Stelle wird mit $w$ bezeichnet, die folgenden Randbedingungen
gen\"ugen mu\ss \
$$w = {\hbox{d}\,^2w \over \hbox{d}y^2} = 0 \quad \hbox{f\"ur}\quad y = 0 \quad
\hbox{und}\quad y = b \;  .\eqno(1.2)$$
Diese Bedingungen werden durch die folgende Fourier-Reihe befriedigt
$$w = \sum_{l=1}^\infty w^l\,\hbox{sin}\,l{\pi y \over
b}\;  .\eqno(1.3)$$
Hierbei bedeutet $b$ die Balkenl\"ange und $l$ bezieht sich auf ein
bestimmtes Reihenglied, d. h. $l = 1$, $2$, $3$ usw., und
$w^l$
ist die unbestimmte Durchbiegungsamplitude der $l$-ten Harmonischen.
\par
Die Belastung $q(y)$ wird mit Fourier-Reihen erfa\ss t zu
$$q(y) = \sum_{l=1}^\infty q^l\,\hbox{sin}\,l {\pi y \over
b}\;  .\eqno(1.4)$$
Hierbei ist $q(l)$ die Lastamplitude der $l$-ten Harmonischen, die durch
Anwendung der Eulerschen Formel f\"ur Fourier-Reihen erhalten wird, d. h.
$$q^l = - {\intl_{b_0}^{b_l} q(y)\,\hbox{sin}\,l {\left(\pi y \over
b\right)}\,\hbox{d}y
\over \intl_0^b\hbox{sin}^2 l {\left(\pi y \over b\right)}\, \hbox{d}y}
=
{2 \over b} \intl_{b_0}^{b_1}\, q(y)\,\hbox{sin}\,l {\pi y \over b}
\hbox{d}y\; ,\eqno(1.5)$$
wobei die Last in dem Bereich von $y = b_0$ bis $y = b_1$ aufgebracht
wird.
\par
Der Wert von $q^l$ kann leicht ermittelt werden, vorausgesetzt, da\ss \
das Produkt $q(y)\,\hbox{sin}\,{\left(ly / b\right)}$
integrierbar ist.
\par
F\"ur eine gegebene Lastharmonische besteht das Problem deshalb darin,
die unbekannte Amplitude $w^l$ zu finden, die eindeutig die
Durchbiegung des Balkens f\"ur diese Harmonische beschreibt. Einsetzen
von (1.3) und (1.4) in (1.1) ergibt
$$\pi (w) = \sum_{l=1}^\infty \left({EI \over 4} (w^l)^2 {l^4\pi^4 \over
b^3} - {b \over 2} q^lw^l\right)\;  .\eqno(1.6)$$
Der Wert von $w^l$ wird durch Minimierung der gesamten potentiellen
Energie nach $w^l$ erhalten, d.h. aus
$${\partial\pi(w) \over \partial w^l} = 0\quad \hbox{ergibt sich} \quad
w^l = {q^lb^4 \over EIl^4{\pi}^4}\;  .\eqno(1.7)$$
Die Durchbiegung des Wagens erh\"alt man, indem die Summation in (1.3)
ausgef\"uhrt wird. Aus der Durchbiegung des Balkens k\"onnen die
Kr\"um\-mungen und somit die Biegemomente berechnet werden.
\par
Als praktisches Beispiel wird der Balken, wie in Abb.$\,$ 1.3 dargestellt,
zwei Lastf\"allen unterworfen: eine Gleichlast mit der Belastung $q$,
die \"uber die gesamte Balkenl\"ange aufgebracht wird; eine vertikale
Einzellast $P$, die in Balkenmitte wirkt. Der Fourier-Koeffizient $q^l$
wird f\"ur jede Belastung aus (1.5) erhalten zu
$$\eqalignno {q^l & = {2q \over
l\pi}(1-\hbox{cos}\,l\pi)
\qquad
 \hbox{f\"ur Gleichlast}\; , & (1.8)\cr
\noalign{\smallskip}
q^l & = {2P \over b} \hbox{sin} {l\pi \over 2}
\qquad \qquad\
\hbox{f\"ur Einzellast}\; . & \cr}$$
Somit wird die vertikale Durchbiegung f\"ur jeden Lastfall aus (1.7)
und (1.3) erhalten zu
$$\eqalignno{w & = {2qb^4 \over EI\pi^5}
\sum_{l=1}^{\infty}{1-\hbox{cos}\,l\pi
\over
l^5} \hbox{sin}{l\pi y \over b}
\qquad
 \hbox{f\"ur Gleichlast}\; , & (1.9)\cr
\noalign{\smallskip}
w & = {2Pb^3 \over EI\pi^4} \sum_{l=1}^{\infty}{1 \over
l^4}\hbox{sin}{l\pi\over 2} \hbox{sin}{l\pi y \over b}
\qquad\quad
 \hbox{f\"ur Einzellast}\; . & \cr}
$$
\par
Die Biegemomente werden aus dem Ausdruck abgeleitet
$$M = -EI{\hbox{d}^2w \over \hbox{d}y^2}\;  .\eqno(1.10)$$
Somit k\"onnen f\"ur jeden Lastfall die Biegemomente ausgedr\"uckt
werden zu
$$\eqalignno{M & = {2qb^2 \over {\pi}^3} \sum_{l=1}^{\infty}{1 \over l^3}
(1-\hbox{cos} l\pi)\, \hbox{sin}{l\pi y \over b}\; , & (1.11)\cr
M & = {2Pb \over {\pi}^2} \sum_{l=1}^{\infty}{1 \over
l^2}\hbox{sin}{l\pi \over 2} \hbox{sin}{l\pi y\over b}\;  . & \cr} $$
Man beachte, da\ss \ in (1.9) und (1.11) die geraden harmonischen
Terme Null sind. Dies ergibt sich aus der Symmetrie der Belastung um
die Balkenmitte.
\par
Numerische Ergebnisse f\"ur die vertikale Durchbiegung und f\"ur das
Biegemoment in Balkenmitte sind in Abb.$\,$ 1.3 dargestellt. F\"ur beide
Lastf\"alle wurden neun Harmonische ungleich Null mitgenommen.
Folgende Schl\"usse k\"onnen gezogen werden:
\par
\item{--} Die Konvergenz zu dem theoretischen Wert $\lbrack 1.19
\rbrack$ f\"ur die Durchbiegung und f\"ur das Biegemoment ist f\"ur
die Gleichlast viel schneller als f\"ur die Einzellast.
\item{--} In beiden Lastf\"allen ist die Konvergenz f\"ur das
Biegemoment langsamer als die f\"ur die Durchbiegung.
\par
Die Konvergenz der L\"osung ist deshalb lastabh\"angig. Als Regel
gilt, da\ss \ L\"osungen f\"ur Gleichlasten ungleich schneller
konvergieren als solche f\"ur Punkt\-lasten. Ebenso gilt, da\ss \ die
Anzahl der Harmonischen, die gebraucht werden, um einen bestimmten Grad
an Genauigkeit zu erreichen, gr\"o\ss er ist f\"ur die Biegemomente
als f\"ur die Verschiebungen.
\par
Diese praktischen Regeln abgeleitet aus einem einfachen Beispiel,
gelten auch f\"ur die allgemeine Finite-Streifen-Methode.

\titleb{Finite-Streifen-Methode f\"ur rechteckige %\hfill\break
Mindlinsche Platten}
In diesem Abschnitt wird die Finite-Streifen-Methode f\"ur Mindlinsche
recht\-ek\-kige Platten abgeleitet als Einf\"uhrung zu komplexeren
Problemen wie z.B. Platten mit Hohlprofilen, Schalen, die ebenfalls
mit der Streifen-Methode in analoger  Weise behandelt werden k\"onnen.
\titlec{Grundgleichungen f\"ur Mindlinsche Platten}
Die Voraussetzungen f\"ur Mindlinsche Plattenbiegung  k\"onnen
folgenderma\-\ss en formuliert werden:
\par
\item{1.} Die vertikalen Durchbiegungen der Platte $w$ sind klein.
\par
\item{2.} Die Normalen der Mittelfl\"ache der Platte stehen vor
Lastaufbringung senk\-recht, aber nicht notwendigerweise senk\-recht zu der
Mittelfl\"ache nach der Deformation.
\par
\item{3.} Die Spannungen normal zu der Mittelfl\"ache $\sigma_z$
sind vernachl\"assigbar.
\par
Aus den Annahmen 1 und 2 kann das Verschiebungsfeld an jedem
beliebigen Punkt der Platte ausgedr\"uckt werden zu
%\vfill\eject
$$\vbox{\eqalignno{u(x,y,z) & = z{\theta}_x(x,y)\; , \cr
v(x,y,z) & = z{\theta}_y(x,y)\; , & (1.12) \cr
x(x,y,z) & = w(x,y)\; . & \cr}} $$
Hierbei bedeuten $u$, $v$ und $w$ die Verschiebungen in $x$-, $y$- und
$z$-Richtung, und ${\theta}_x$ und ${\theta}_y$ sind die Drehwinkel in
den $zx$- und $yz$-Ebenen (Abb.$\,$ 1.4).
\par
Die gesamte potentielle Energie der Platte wird ausgedr\"uckt zu
$\lbrack 1.21 \rbrack$
$$\pi = {1 \over 2} \intl\!\!\!\intl {\lbrace \vek{\varepsilon}
\rbrace}^T \lbrace
\vek{\vek{\sigma}} \rbrace \hbox{d}x\, \hbox{d}y - \intl\!\!\!\intl qw\,
\hbox{d}x\,\hbox{d}y\; ,\eqno(1.13)$$
%\par
wobei der Einfachheit halber nur die Beitr\"age einer verteilten
Belastung vom Betrage $q(x,y)$ ber\"ucksichtigt wurde. In (1.13) sind
$\lbrace \vek{\varepsilon} \rbrace$ und $\lbrace \vek{\sigma} \rbrace$
allgemeine\nobreak
Verzerrungs- und Spannungsvektoren, die ausgedr\"uckt werden k\"onnen
\nobreak als
$$\eqalignno{\vek{\varepsilon} & = {\lbrack {\vek{\varepsilon}}_{\rm b}^T,
{\vek{\varepsilon}}_{\rm s}^T
\rbrack}^T\; ;\qquad
\vek{\sigma} = {\lbrack{\vek{\sigma}}_{\rm b}^T, {\vek{\sigma}}_{\rm
s}^T\rbrack}^T\; , & (1.14) \cr
\noalign{\medskip}
{\vek{\varepsilon}}_{\rm b} & = {\left [{\partial\theta_x \over \partial x},
{\partial\theta_y \over \partial y}, {\partial\theta_x \over \partial
y}+ {\partial\theta_y \over \partial x}\right ]}^T\; , & (1.15) \cr
\noalign{\medskip}
{\vek{\varepsilon}}_{\rm s} & = {\left [{\theta}_x + {\partial w \over
\partial x},
{\theta}_y + {\partial w \over \partial y}\right ]}^T\; , & (1.16)\cr
\noalign{\medskip}
{\vek{\sigma}}_{\rm b} & = {\lbrack M_x, M_y, M_{xy}\rbrack}^T\; ,& \cr
\noalign{\medskip}
{\vek{\sigma}}_{\rm s} & = {\lbrack Q_x, Q_y \rbrack}^T\; . & \cr}$$
Hierbei bedeuten $\lbrace{\vek{\varepsilon}}_{\rm b}\rbrace$,
$\lbrace{\vek{\sigma}}_{\rm b}\rbrace$
und $\lbrace{\vek{\varepsilon}}_{\rm s}\rbrace$, $\lbrace{\vek{\sigma}}_{\rm s}\rbrace$ die
verallgemeinerten Verzer\-rungs- und Spannungsvektoren infolge Biegung
und Schub. Die Vorzeichenvereinbarung in (1.16) f\"ur die
Biegemomente und f\"ur die Querkr\"afte $Q_x$ und $Q_y$ sind aus Abb.$\,$
1.5 ersichtlich. Die Beziehung zwischen Spannungen und Verzerrungen
wird mit Hilfe des Materialgesetzes ausgedr\"uckt zu
$$\lbrace \vek{\vek{\sigma}} \rbrace = \lbrack \vek{D} \rbrack \lbrace \vek{\varepsilon}
\rbrace\; ,\eqno(1.17)$$
f\"ur die isotrope Platte gilt
$$\lbrack \vek{D} \rbrack = \left \lbrack
\matrix{\vek{D}_{\rm b}&0\cr0&\vek{D}_{\rm s}}\right\rbrack\; ,\eqno(1.18)$$
wobei
$$\left\lbrack \vek{D}_{\rm b} \right\rbrack =
{Et^3 \over 12(1-{\nu}^2)}
\left \lbrack\matrix{1&\nu&0\cr
\nu&1&0\cr
0&0&{(1-\nu) / 2}\cr}\right\rbrack; $$
%\medskip
$$\left \lbrack \vek{D}_{\rm s} \right\rbrack = {Et \over 2(1+\nu)}
\left \lbrack\matrix{\gamma&0\cr
0&\gamma\cr}\right\rbrack.\eqno(1.19)$$
\medskip
Submatrizen $\left \lbrack \vek{D}_{\rm b} \right \rbrack$ und $\left \lbrack \vek{D}_{\rm s}
\right \rbrack$ sind die Beitr\"age f\"ur Biegung und Schub zur
Elast\-izit\"atsmatrix; $E$ bedeutet den $E$-Modul und $\nu$ die
Querkontraktion, $t$ ist die Plattendicke, $\gamma$ ist der
Schubfaktor, der die Verw\"olbung des Querschnitts ber\"ucksichtigt
$\lbrack 1.19 \rbrack$. F\"ur rechteckige Querschnitte gilt $\gamma =
{5/6}.$
\titlec{Finite-Streifen-Methode f\"ur Mindlinsche Platten}
Die Finite-Streifen-Methode f\"ur die Berechnung Mindlinscher Platten
folgt genau denjenigen Schritten, wie sie in dem einfachen Beispiel
des Abschn. 1.2 ausgef\"uhrt wurden. Also werden die Verschiebungen
jetzt entwickelt als Fourier\--Reihen entlang der Richtung $y$, in der
sowohl die Material- als auch die geo\-me\-trischen Eigenschaften der
Platte als konstant angenommen werden, d.h.
$$ \eqalignno{w(x,y) & = \sum_{l=1}^{\infty}w^l(x) \hbox{sin}{l\pi \over
b}y\; ,\cr
\noalign{\medskip}
{\theta}_x(x,y) & = \sum_{l=1}^n
{\theta}_x^l(x)\hbox{sin}{l\pi \over b}y\; , & (1.20) \cr
\noalign{\medskip}
{\theta}_y(x,y) & = \sum_{l=1}^n
{\theta}_y^l(x)\hbox{cos}{l\pi \over b}y\; . & \cr}$$
Dabei bedeutet $b$ die Plattenl\"ange, $w^l$, ${\theta}_x^l$ und
${\theta}_y^l$ sind die Amplituden der $l$-ten Harmonischen, und $n$ ist
die Anzahl der Reihenglieder.
\par
Der n\"achste Schritt besteht darin, die Verschiebungsamplituden, die
nur eine Funktion der $x$-Koordinate sind, zu diskretisieren, indem
eine \"ubliche Finite-Elemente-Einteilung $\lbrack 1.20 \rbrack$
entlang der Querschnittsrichtung der Platte gew\"ahlt wird.
\par
Somit wird innerhalb eines Elementes $e$ die Verschiebungsamplitude
ausgedr\"uckt zu
$$\eqalignno{w^l(x) & = \sum_{i=1}^{n_e} N_i(x) w_i^l\; ,\cr
\noalign{\medskip}
{\theta}_x^l(x) & = \sum_{i=1}^{n_e} N_i(x)
{\theta}_{xi}^l \; ,& (1.21)\cr
\noalign{\medskip}
{\theta}_y^l(x) & = \sum_{i=1}^{n_e} N_i(x) {\theta}_{yi}^l\; . & \cr}$$
Hierbei bedeuten $w_i^l$, ${\theta}_{xi}^l$ und ${\theta}_{yi}^l$ die
Knotenamplituden des $i$-ten Knotens am Element $e$, $N_i(x)$ ist die
eindimensionale Verschiebungsfunktion am Knoten $i$ des Elementes $e$,
und $n_e$ ist die Anzahl der Knoten des Elementes $e$.
\titleb{Literaturverzeichnis}
\vskip-1truecm
\begref
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\ref{1.3}{Wilson, E.L.: Structural analysis of axisymmetric solids.
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\ref{1.4}{Cheung, Y.K.: Finite strip method analysis of elastic slabs.
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\bye