лектор: к.ф.-м.н. Л.Н. Знаменская

Понятие множества, теоретико-множественные операции, кванторы

Понятие множества; обозначение множества; элементы множества; отрезок и интервал; теоретико-множественные операции: объединение, пересечение, разность; кванторы существования и всеобщности; формулировка отрицаний.

Понятие функции, способы задания функции

Понятие функции; область определения и множество значений функции; взаимосвязь различных способов задания функций (аналитические выражения, формальное описание, графическое изображение); арифметические операции на функциях; суперпозиция функций.

Важнейшие алгебраические системы функций

Многочлены; рациональные функции; обратные функции; алгебраические функции; четные и нечетные функции; периодические функции; элементарные функции.

Метрическое пространство: определение и примеры.

Множества в метрическом пространстве.

Шары, окрестности, внутренние точки, ограниченные и неограниченные множества, открытые множества, объединение открытых множеств и пересечение конечного числа открытых множеств, замкнутые множества.

Непрерывность функции в точке

Понятие направленности; основные направленности; сравнение направленностей; эквивалентные направленности; непрерывность функции в точке; непрерывные функции; непрерывность функции нескольких переменных; доопределение по непрерывности.

Непрерывность арифметических операций. Свойства непрерывных функций

Предел функции в точке

Связь понятий предела и непрерывности

Основные свойства пределов

Каверзные задачи. И что же дальше?

Теория рациональных чисел

Определение действительного числа

Сцепление замкнутых шаров сколь угодно малого радиуса; свойства сцеплений отрезков сколь угодно малой длины; действительное число.

Определение неравенства

Определение расстояния между действительными числами

Определение арифметических операций над действительными числами.

Полнота множества действительных чисел.

Полное метрическое пространство; теорема о полноте пространства действительных чисел.

Точные верхняя и нижняя грани множества.

Множества действительных чисел, ограниченные сверху и снизу; точные верхняя и нижняя грани; понятие нестрогого сцепления замкнутых шаров сколь угодно малого радиуса; лемма о вложенных отрезках; существование точной верхней и нижней граней.

Линейные функции в математике и физике

Понятие касательной к кривой

Приращение функции и понятие дифференциала

Понятие производной

Сравнение функций. O-символика

Функция бесконечно малая по сравнению с функцией, функция ограниченная по сравнению с функцией, функции одного порядка, эквивалентные функции (асимптотически равные)

Определение дифференциала функции

Определение производной функции

Свойства дифференциалов

дифференциал суммы, разности, произведения, частного, суперпозиции функций, производная обратной функции

Показательная и логарифмическая функции

определение показательной функции, ее производная, определение логарифмической функции, ее производная

Производные высших порядков

Понятие дифференциального уравнения. Примеры

производные тригонометрических функций

Логарифмическая производная

Дифференциалы высших порядков, неинвариантность формы дифференциалов высших порядков

Односторонние и бесконечные производные

Функции непрерывные и дифференцируемые

Компактность. Теоремы Вейерштрасса

Некоторые свойства непрерывных функций

Первая теорема Больцано-Коши, вторая теорема Больцано-Коши, теорема о существовании обратной функции

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши

Формула Тейлора

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша, Лагранжа, Коши, Пеано

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа

Возрастание и убывание функции. Локальный экстремум. Достаточные условия существования экстремума

Выпуклые вверх и выпуклые вниз функции. Точки перегиба

Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты

Построение графиков функций

Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Таблица основных интегралов

Простейшие правила интегрирования.

Интегрирование путем замены переменных

Приемы вычисления интегралов с помощью замены переменных

Интегрирование по частям

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций