�ðîãðàììà êóðñà
"Œàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"
(2 êóðñ)


ëåêòîð: ê.ô.-ì.í. ‹.�. ‡íàìåíñêàß


I. ‚âåäåíèå â àíàëèç

‹åêöèß No 1-2
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå
No 1, 2-3
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå
No 1

�îíßòèå ìíîæåñòâà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè, êâàíòîðû

�îíßòèå ìíîæåñòâà; îáîçíà÷åíèå ìíîæåñòâà; ýëåìåíòû ìíîæåñòâà; îòðåçîê è èíòåðâàë; òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè: îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ðàçíîñòü; êâàíòîðû ñóùåñòâîâàíèß è âñåîáùíîñòè; ôîðìóëèðîâêà îòðèöàíèé.

�îíßòèå ôóíêöèè, ñïîñîáû çàäàíèß ôóíêöèè

�îíßòèå ôóíêöèè; îáëàñòü îïðåäåëåíèß è ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè; âçàèìîñâßçü ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ çàäàíèß ôóíêöèé (àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèß, ôîðìàëüíîå îïèñàíèå, ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå); àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íà ôóíêöèßõ; ñóïåðïîçèöèß ôóíêöèé.

‚àæíåéøèå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû ôóíêöèé

Œíîãî÷ëåíû; ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè; îáðàòíûå ôóíêöèè; àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè; ÷åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè; ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè; ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.

II. �ðåäåë è íåïðåðûâíîñòü â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå

‹åêöèß No 3
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 4-5
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 2

Œåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî: îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû.

Œíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.

˜àðû, îêðåñòíîñòè, âíóòðåííèå òî÷êè, îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà, îòêðûòûå ìíîæåñòâà, îáúåäèíåíèå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ è ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, çàìêíóòûå ìíîæåñòâà.

‹åêöèß No 4-6
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 6

�åïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå

�îíßòèå íàïðàâëåííîñòè; îñíîâíûå íàïðàâëåííîñòè; ñðàâíåíèå íàïðàâëåííîñòåé; ýêâèâàëåíòíûå íàïðàâëåííîñòè; íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå; íåïðåðûâíûå ôóíêöèè; íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ; äîîïðåäåëåíèå ïî íåïðåðûâíîñòè.

�åïðåðûâíîñòü àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. ‘âîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 7-9
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 3

�ðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå

‘âßçü ïîíßòèé ïðåäåëà è íåïðåðûâíîñòè

Žñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåäåëîâ

III. ’åîðèß äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà

‹åêöèß No 7-10
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 10-11
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 4

Šàâåðçíûå çàäà÷è. ˆ ÷òî æå äàëüøå?

’åîðèß ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

Žïðåäåëåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà

‘öåïëåíèå çàìêíóòûõ øàðîâ ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ðàäèóñà; ñâîéñòâà ñöåïëåíèé îòðåçêîâ ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû; äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.

Žïðåäåëåíèå íåðàâåíñòâà

Žïðåäåëåíèå ðàññòîßíèß ìåæäó äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè

Žïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.

�îëíîòà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.

�îëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî; òåîðåìà î ïîëíîòå ïðîñòðàíñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.

’î÷íûå âåðõíßß è íèæíßß ãðàíè ìíîæåñòâà.

Œíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, îãðàíè÷åííûå ñâåðõó è ñíèçó; òî÷íûå âåðõíßß è íèæíßß ãðàíè; ïîíßòèå íåñòðîãîãî ñöåïëåíèß çàìêíóòûõ øàðîâ ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ðàäèóñà; ëåììà î âëîæåííûõ îòðåçêàõ; ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé.

�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó

IV. „èôôåðåíöèàë è ïðîèçâîäíàß

‹åêöèß No 11-12
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 12

‹èíåéíûå ôóíêöèè â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå

�îíßòèå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé

�ðèðàùåíèå ôóíêöèè è ïîíßòèå äèôôåðåíöèàëà

�îíßòèå ïðîèçâîäíîé

‘ðàâíåíèå ôóíêöèé. O-ñèìâîëèêà

”óíêöèß áåñêîíå÷íî ìàëàß ïî ñðàâíåíèþ ñ ôóíêöèåé, ôóíêöèß îãðàíè÷åííàß ïî ñðàâíåíèþ ñ ôóíêöèåé, ôóíêöèè îäíîãî ïîðßäêà, ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèè (àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíûå)

‹åêöèß No13-14

Žïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè

Žïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè

‘âîéñòâà äèôôåðåíöèàëîâ

äèôôåðåíöèàë ñóììû, ðàçíîñòè, ïðîèçâåäåíèß, ÷àñòíîãî, ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèé, ïðîèçâîäíàß îáðàòíîé ôóíêöèè

�îêàçàòåëüíàß è ëîãàðèôìè÷åñêàß ôóíêöèè

îïðåäåëåíèå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, åå ïðîèçâîäíàß, îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè, åå ïðîèçâîäíàß

�ðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðßäêîâ

�îíßòèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèß. �ðèìåðû

ïðîèçâîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

‹åêöèß No 15
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 13-14
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 5

‹îãàðèôìè÷åñêàß ïðîèçâîäíàß

„èôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðßäêîâ, íåèíâàðèàíòíîñòü ôîðìû äèôôåðåíöèàëîâ âûñøèõ ïîðßäêîâ

Žäíîñòîðîííèå è áåñêîíå÷íûå ïðîèçâîäíûå

”óíêöèè íåïðåðûâíûå è äèôôåðåíöèðóåìûå

V. ‚àæíåéøèå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé

‹åêöèß No 16-17
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 15

Šîìïàêòíîñòü. ’åîðåìû ‚åéåðøòðàññà

‹åêöèß No 18-20
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 16

�åêîòîðûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

�åðâàß òåîðåìà �îëüöàíî-Šîøè, âòîðàß òåîðåìà �îëüöàíî-Šîøè, òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè îáðàòíîé ôóíêöèè

Žñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèß

’åîðåìà ”åðìà, òåîðåìà �îëëß, òåîðåìà ‹àãðàíæà, òåîðåìà Šîøè

‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 17
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 6

”îðìóëà ’åéëîðà

”îðìóëà ’åéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå ˜ëåìèëüõà è �îøà, ‹àãðàíæà, Šîøè, �åàíî

�àñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé

�åîïðåäåëåííîñòè òèïà

VI. ˆññëåäîâàíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé

‹åêöèß No 21-22
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 18

‚îçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèè. ‹îêàëüíûé ýêñòðåìóì. „îñòàòî÷íûå óñëîâèß ñóùåñòâîâàíèß ýêñòðåìóìà

‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 19

‚ûïóêëûå ââåðõ è âûïóêëûå âíèç ôóíêöèè. ’î÷êè ïåðåãèáà

‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 20-22

�åñêîíå÷íûå ðàçðûâû, áåñêîíå÷íûé ïðîìåæóòîê. €ñèìïòîòû

�îñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé

�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó

�êçàìåíû

�èñüìåííûé ýêçàìåí 17 ßíâàðß 1998 ãîäà
Žòâåòû ê ýêçàìåíó

�èñüìåííûé ýêçàìåí (ïåðåýêçàìåíîâêà) 24 ßíâàðß 1998 ãîäà
Žòâåòû ê ýêçàìåíó

‘åòåâîé ýêçàìåí
Žòâåòû ê ñåòåâîìó ýêçàìåíó

�èñüìåííûé ýêçàìåí (ïåðåýêçàìåíîâêà) 15 ôåâðàëß 1998 ãîäà
Žòâåòû ê ýêçàìåíó

�îñëåäíèé ýêçàìåí (ñäàâàëñß êîìèññèè) 20 ôåâðàëß 1998 ãîäà

VII. �åðâîîáðàçíàß è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

‹åêöèß No 23-25
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 23-24
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 25-26
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 7

�îíßòèå ïåðâîîáðàçíîé è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

’àáëèöà îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ

�ðîñòåéøèå ïðàâèëà èíòåãðèðîâàíèß.

ˆíòåãðèðîâàíèå ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííûõ

�ðèåìû âû÷èñëåíèß èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ

ˆíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòßì

ˆíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé

ˆíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

VIII. Œåðà †îðäàíà è èíòåãðàë �èìàíà

‹åêöèß No 26-27
‘åìèíàð No 27
‘åìèíàð-êîíôåðåíöèß çàäà÷è

ˆñòîðèß ïîíßòèß ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû

Œåðà †îðäàíà

€ëãåáðà ìíîæåñòâ, ìåðà, âíóòðåííßß ìåðà †îðäàíà, âíåøíßß ìåðà †îðäàíà, ìíîæåñòâà, èçìåðèìûå ïî †îðäàíó, êðèòåðèé èçìåðèìîñòè ìíîæåñòâà ïî †îðäàíó, ïîëóàääèòèâíîñòü âíåøíåé ìåðû †îðäàíà, ìîíîòîííîñòü âíåøíåé ìåðû †îðäàíà, àääèòèâíîñòü ìåðû †îðäàíà

‹åêöèß No 28-29

�àâíîìåðíàß íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè

Žïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè, òåîðåìà Šàíòîðà, ïëîùàäü ãðàôèêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè

�åîïðåäåëåííûé èíòåãðàë è ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè

’åîðåìà �àððîó

ˆíòåãðàë �èìàíà, ôîðìóëà �üþòîíà-‹åéáíèöà

‚åðõíßß è íèæíßß ñóììû „àðáó, ñâîéñòâà ñóìì „àðáó, âåðõíèé è íèæíèé èíòåãðàë „àðáó, èíòåãðàë �èìàíà (îïðåäåëåííûé èíòåãðàë), ôóíêöèß, èíòåãðèðóåìàß ïî �èìàíó, äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèß èíòåãðàëà �èìàíà, ôîðìóëà �üþòîíà-‹åéáíèöà

IX. ƒåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèß îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

‹åêöèß No 30-31
‘åìèíàð No 28-29
‘åìèíàð No 30
‘åìèíàð No 31-32
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 8
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 9

Šðèâûå. ‚û÷èñëåíèå äëèí êðèâûõ

�ëîùàäü ôèãóðû, çàäàííîé â ïîëßðíûõ êîîðäèíàòàõ

Œåðà †îðäàíà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå

‚û÷èñëåíèå îáúåìà òåëà

‚û÷èñëåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè òåëà âðàùåíèß

�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó

X. �åñîáñòâåííûå èíòåãðàëû

‹åêöèß No 32-33
‘åìèíàð No 33-34

‚û÷èñëåíèå ïëîùàäåé íåîãðàíè÷åííûõ êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé

Žïðåäåëåíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèß, ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà îòðåçêå èíòåãðèðîâàíèß, èõ ñâßçü

‘õîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè

’ðóäíîñòè èññëåäîâàíèß ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè

XI. �îñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷èñëîâûå ðßäû

‹åêöèß No 33-36
‘åìèíàð No 35
‘åìèíàð No 36-38
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 10

�îíßòèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷èñëîâîãî ðßäà

�åîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðßäîâ

‘õîäèìîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ðßäîâ

�ðèçíàêè Šîøè è „àëàìáåðà

ˆíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Šîøè

�îäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Šðèòåðèé Šîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òåîðåìà �îëüöàíî-‚åéåðøòðàññà, êðèòåðèé Šîøè

‘õîäèìîñòü ïðîèçâîëüíûõ ðßäîâ

êðèòåðèé Šîøè ñõîäèìîñòè ðßäà

€áñîëþòíàß ñõîäèìîñòü

àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäßùèåñß ðßäû

‡íàêîïåðåìåííûå ðßäû

òåîðåìà ‹åéáíèöà

XII. ”óíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðßäû

‹åêöèß No 36-38
‘åìèíàð No 39-40

�îíßòèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèîíàëüíîãî ðßäà

�àâíîìåðíàß ñõîäèìîñòü

Šðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè

�ðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðßäà

�åïðåðûâíîñòü ñóììû ðßäà

�î÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ðßäîâ

�î÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ðßäîâ

‹åêöèß No 39-40
‘åìèíàð No 41

‘òåïåííîé ðßä, èíòåðâàë ñõîäèìîñòè

�åïðåðûâíîñòü ñóììû ñòåïåííîãî ðßäà

ˆíòåãðèðîâàíèå è äèôôåðåíöèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðßäîâ

�àçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðßä, ðßä ’åéëîðà

�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó

�êçàìåíû