![]()
�ðîãðàììà êóðñà
"Œàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"
(2 êóðñ)
ëåêòîð: ê.ô.-ì.í. ‹.�. ‡íàìåíñêàß
I. ‚âåäåíèå â àíàëèç
�îíßòèå ìíîæåñòâà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè, êâàíòîðû
�îíßòèå ìíîæåñòâà; îáîçíà÷åíèå ìíîæåñòâà; ýëåìåíòû ìíîæåñòâà; îòðåçîê è èíòåðâàë; òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè: îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ðàçíîñòü; êâàíòîðû ñóùåñòâîâàíèß è âñåîáùíîñòè; ôîðìóëèðîâêà îòðèöàíèé.
�îíßòèå ôóíêöèè, ñïîñîáû çàäàíèß ôóíêöèè
�îíßòèå ôóíêöèè; îáëàñòü îïðåäåëåíèß è ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè; âçàèìîñâßçü ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ çàäàíèß ôóíêöèé (àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèß, ôîðìàëüíîå îïèñàíèå, ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå); àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íà ôóíêöèßõ; ñóïåðïîçèöèß ôóíêöèé.
‚àæíåéøèå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû ôóíêöèé
Œíîãî÷ëåíû; ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè; îáðàòíûå ôóíêöèè; àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè; ÷åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè; ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè; ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.
II. �ðåäåë è íåïðåðûâíîñòü â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå
Œåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî: îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû.
Œíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.
˜àðû, îêðåñòíîñòè, âíóòðåííèå òî÷êè, îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà, îòêðûòûå ìíîæåñòâà, îáúåäèíåíèå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ è ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, çàìêíóòûå ìíîæåñòâà.
�åïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå
�îíßòèå íàïðàâëåííîñòè; îñíîâíûå íàïðàâëåííîñòè; ñðàâíåíèå íàïðàâëåííîñòåé; ýêâèâàëåíòíûå íàïðàâëåííîñòè; íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå; íåïðåðûâíûå ôóíêöèè; íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ; äîîïðåäåëåíèå ïî íåïðåðûâíîñòè.
�åïðåðûâíîñòü àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. ‘âîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
�ðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå
‘âßçü ïîíßòèé ïðåäåëà è íåïðåðûâíîñòè
Žñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåäåëîâ
III. ’åîðèß äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
Šàâåðçíûå çàäà÷è. ˆ ÷òî æå äàëüøå?
’åîðèß ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë
Žïðåäåëåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
‘öåïëåíèå çàìêíóòûõ øàðîâ ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ðàäèóñà; ñâîéñòâà ñöåïëåíèé îòðåçêîâ ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû; äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
Žïðåäåëåíèå íåðàâåíñòâà
Žïðåäåëåíèå ðàññòîßíèß ìåæäó äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè
Žïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
�îëíîòà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
�îëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî; òåîðåìà î ïîëíîòå ïðîñòðàíñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
’î÷íûå âåðõíßß è íèæíßß ãðàíè ìíîæåñòâà.
Œíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, îãðàíè÷åííûå ñâåðõó è ñíèçó; òî÷íûå âåðõíßß è íèæíßß ãðàíè; ïîíßòèå íåñòðîãîãî ñöåïëåíèß çàìêíóòûõ øàðîâ ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ðàäèóñà; ëåììà î âëîæåííûõ îòðåçêàõ; ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé.
�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó
IV. „èôôåðåíöèàë è ïðîèçâîäíàß
‹èíåéíûå ôóíêöèè â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
�îíßòèå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé
�ðèðàùåíèå ôóíêöèè è ïîíßòèå äèôôåðåíöèàëà
�îíßòèå ïðîèçâîäíîé
‘ðàâíåíèå ôóíêöèé. O-ñèìâîëèêà
”óíêöèß áåñêîíå÷íî ìàëàß ïî ñðàâíåíèþ ñ ôóíêöèåé, ôóíêöèß îãðàíè÷åííàß ïî ñðàâíåíèþ ñ ôóíêöèåé, ôóíêöèè îäíîãî ïîðßäêà, ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèè (àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíûå)
‹åêöèß No13-14
Žïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè
Žïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
‘âîéñòâà äèôôåðåíöèàëîâ
äèôôåðåíöèàë ñóììû, ðàçíîñòè, ïðîèçâåäåíèß, ÷àñòíîãî, ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèé, ïðîèçâîäíàß îáðàòíîé ôóíêöèè
�îêàçàòåëüíàß è ëîãàðèôìè÷åñêàß ôóíêöèè
îïðåäåëåíèå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, åå ïðîèçâîäíàß, îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè, åå ïðîèçâîäíàß
�ðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðßäêîâ
�îíßòèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèß. �ðèìåðû
ïðîèçâîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
‹îãàðèôìè÷åñêàß ïðîèçâîäíàß
„èôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðßäêîâ, íåèíâàðèàíòíîñòü ôîðìû äèôôåðåíöèàëîâ âûñøèõ ïîðßäêîâ
Žäíîñòîðîííèå è áåñêîíå÷íûå ïðîèçâîäíûå
”óíêöèè íåïðåðûâíûå è äèôôåðåíöèðóåìûå
V. ‚àæíåéøèå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé
Šîìïàêòíîñòü. ’åîðåìû ‚åéåðøòðàññà
�åêîòîðûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
�åðâàß òåîðåìà �îëüöàíî-Šîøè, âòîðàß òåîðåìà �îëüöàíî-Šîøè, òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè îáðàòíîé ôóíêöèè
Žñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèß
’åîðåìà ”åðìà, òåîðåìà �îëëß, òåîðåìà ‹àãðàíæà, òåîðåìà Šîøè
”îðìóëà ’åéëîðà
”îðìóëà ’åéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå ˜ëåìèëüõà è �îøà, ‹àãðàíæà, Šîøè, �åàíî
�àñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé
�åîïðåäåëåííîñòè òèïà
![]()
VI. ˆññëåäîâàíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé
‚îçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèè. ‹îêàëüíûé ýêñòðåìóì. „îñòàòî÷íûå óñëîâèß ñóùåñòâîâàíèß ýêñòðåìóìà
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 19
‚ûïóêëûå ââåðõ è âûïóêëûå âíèç ôóíêöèè. ’î÷êè ïåðåãèáà
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 20-22
�åñêîíå÷íûå ðàçðûâû, áåñêîíå÷íûé ïðîìåæóòîê. €ñèìïòîòû
�îñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé
�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó
�êçàìåíû
�èñüìåííûé ýêçàìåí 17 ßíâàðß 1998 ãîäà
Žòâåòû ê ýêçàìåíó
‘åòåâîé ýêçàìåí
Žòâåòû ê ñåòåâîìó
ýêçàìåíó
VII. �åðâîîáðàçíàß è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
‹åêöèß No
23-25
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 23-24
‘åìèíàðñêîå çàíßòèå No 25-26
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå No 7
�îíßòèå ïåðâîîáðàçíîé è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
’àáëèöà îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ
�ðîñòåéøèå ïðàâèëà èíòåãðèðîâàíèß.
ˆíòåãðèðîâàíèå ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííûõ
�ðèåìû âû÷èñëåíèß èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ
ˆíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòßì
ˆíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé
ˆíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
VIII. Œåðà †îðäàíà è èíòåãðàë �èìàíà
ˆñòîðèß ïîíßòèß ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû
Œåðà †îðäàíà
€ëãåáðà ìíîæåñòâ, ìåðà, âíóòðåííßß ìåðà †îðäàíà, âíåøíßß ìåðà †îðäàíà, ìíîæåñòâà, èçìåðèìûå ïî †îðäàíó, êðèòåðèé èçìåðèìîñòè ìíîæåñòâà ïî †îðäàíó, ïîëóàääèòèâíîñòü âíåøíåé ìåðû †îðäàíà, ìîíîòîííîñòü âíåøíåé ìåðû †îðäàíà, àääèòèâíîñòü ìåðû †îðäàíà
‹åêöèß
No 28-29
�àâíîìåðíàß íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
Žïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè, òåîðåìà Šàíòîðà, ïëîùàäü ãðàôèêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
�åîïðåäåëåííûé èíòåãðàë è ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè
’åîðåìà �àððîó
ˆíòåãðàë �èìàíà, ôîðìóëà �üþòîíà-‹åéáíèöà
‚åðõíßß è íèæíßß ñóììû „àðáó, ñâîéñòâà ñóìì „àðáó, âåðõíèé è íèæíèé èíòåãðàë „àðáó, èíòåãðàë �èìàíà (îïðåäåëåííûé èíòåãðàë), ôóíêöèß, èíòåãðèðóåìàß ïî �èìàíó, äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèß èíòåãðàëà �èìàíà, ôîðìóëà �üþòîíà-‹åéáíèöà
IX. ƒåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèß îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
‹åêöèß
No 30-31
‘åìèíàð
No 28-29
‘åìèíàð
No 30
‘åìèíàð
No 31-32
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå
No 8
ˆíäèâèäóàëüíîå äîìàøíåå çàäàíèå
No 9
Šðèâûå. ‚û÷èñëåíèå äëèí êðèâûõ
�ëîùàäü ôèãóðû, çàäàííîé â ïîëßðíûõ êîîðäèíàòàõ
Œåðà †îðäàíà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå
‚û÷èñëåíèå îáúåìà òåëà
‚û÷èñëåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè òåëà âðàùåíèß
�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó
X. �åñîáñòâåííûå èíòåãðàëû
‚û÷èñëåíèå ïëîùàäåé íåîãðàíè÷åííûõ êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé
Žïðåäåëåíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèß, ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà îòðåçêå èíòåãðèðîâàíèß, èõ ñâßçü
‘õîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè
’ðóäíîñòè èññëåäîâàíèß ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè
XI. �îñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷èñëîâûå ðßäû
�îíßòèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷èñëîâîãî ðßäà
�åîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðßäîâ
‘õîäèìîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ðßäîâ
�ðèçíàêè Šîøè è „àëàìáåðà
ˆíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Šîøè
�îäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Šðèòåðèé Šîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òåîðåìà �îëüöàíî-‚åéåðøòðàññà, êðèòåðèé Šîøè
‘õîäèìîñòü ïðîèçâîëüíûõ ðßäîâ
êðèòåðèé Šîøè ñõîäèìîñòè ðßäà
€áñîëþòíàß ñõîäèìîñòü
àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäßùèåñß ðßäû
‡íàêîïåðåìåííûå ðßäû
òåîðåìà ‹åéáíèöà
XII. ”óíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðßäû
�îíßòèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèîíàëüíîãî ðßäà
�àâíîìåðíàß ñõîäèìîñòü
Šðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
�ðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðßäà
�åïðåðûâíîñòü ñóììû ðßäà
�î÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ðßäîâ
�î÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ðßäîâ
‘òåïåííîé ðßä, èíòåðâàë ñõîäèìîñòè
�åïðåðûâíîñòü ñóììû ñòåïåííîãî ðßäà
ˆíòåãðèðîâàíèå è äèôôåðåíöèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðßäîâ
�àçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðßä, ðßä ’åéëîðà
�èñüìåííûé êîëëîêâèóì
Žòâåòû ê êîëëîêâèóìó
�êçàìåíû
�èñüìåííûé ýêçàìåí 19 èþíß 1998 ãîäà
Žòâåòû ê ýêçàìåíó
![]()